||~ distribution]||~ parameters||~ support||~ density f(x)||~ mean||~ variance||~ excel function||~ matlab/octave]||~ r]||~ numpy/scipy]||~ c++]|| ||binomial]||B(n,p)||{0,1,…,n}||$ \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x(1-p){n-x} $||np||np(1-p)||BINOMDIST(x,n,p,FALSE) _ BINOMDIST(x,n,p,TRUE) _ BINOM.INV(n, p, @<α>@) _ BINOM.INV(n, p, RAND())||binopdf(x, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ binocdf(x, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ binoinv(y, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ binornd(##gray|//n//##, ##gray|//p//##)||dbinom(x, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ pbinom(x, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ qbinom(y, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ rbinom(1, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##)||stats.binom.pmf(x, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ stats.binom.cdf(x, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ stats.binom.ppf(y, ##gray|//n//##, ##gray|//p//##) _ stats.binom.rvs(##gray|//n//##, ##gray|//p//##)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ binomial_distribution bd(##gray|//n//##, ##gray|//p//##); _ int m = bd(dre);|| ||poisson]||Pois(@<λ>@)||{0,1,2,…}||$ \frac{\mu^x e^{-\mu}}{x!} $||@<λ>@||@<λ>@||POISSON(x, @<λ>@, FALSE) _ POISSON(x, @<λ>@, TRUE) _ ##gray|//none//## _ ##gray|//none//##||poisspdf(x, ##gray|//lambda//##) _ poisscdf(x, ##gray|//lambda//##) _ poissinv(y, ##gray|//lambda//##) _ poissrnd(##gray|//lambda//##)||dpois(x, ##gray|//lambda//##) _ ppois(x, ##gray|//lambda//##) _ qpois(y, ##gray|//lambda//##) _ rpois(1, ##gray|//lambda//##)||stats.poisson.pmf(x, ##gray|//lambda//##) _ stats.poisson.cdf(x, ##gray|//lambda//##) _ stats.poisson.ppf(y, ##gray|//lambda//##) _ stats.poisson.rvs(##gray|//lambda//##, size=1)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ poisson_distribution pd(##gray|//lambda//##); _ int m = pd(dre);|| ||normal]||N(@<μ>@, @<σ>@)||(-@<∞>@,@<∞>@)||$ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}} e^{{-\frac{(x-\mu)}2}{2\sigma^2}} $||@<μ>@||@<σ>@2||NORMDIST(x, @<μ>@, @<σ>@, FALSE) _ NORMDIST(x, @<μ>@, @<σ>@, TRUE) _ NORMINV(@<α>@, @<μ>@, @<σ>@) _ NORMINV(RAND(), @<μ>@, @<σ>@)||normpdf(x, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ normcdf(x, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ norminv(y, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ normrnd(##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##)||dnorm(x, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ pnorm(x, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ qnorm(y, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ rnorm(1, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##)||stats.norm.pdf(x, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ stats.norm.cdf(x, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ stats.norm.ppf(y, ##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##) _ stats.norm.rvs(##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ normal_distribution nd(##gray|//mu//##, ##gray|//sigma//##); _ double x = nd(dre);|| ||gamma]||@<Γ>@(k, @<θ>@)||[0,@<∞>@)||$ x^{k-1}\frac{exp(\frac{-x}{\theta})}{\Gamma(k) \theta^k} $||k@<θ>@||k@<θ>@2||GAMMADIST(x, k, @<θ>@, FALSE) _ GAMMADIST(x, k, @<θ>@, TRUE) _ GAMMAINV(@<α>@, k, @<θ>@) _ GAMMAINV(RAND(), k, @<θ>@)||gampdf(x, ##gray|//k//##, ##gray|//theta//##) _ gamcdf(x, ##gray|//k//##, ##gray|//theta//##) _ gaminv(y, ##gray|//k//##, ##gray|//theta//##) _ gamrnd(##gray|//k//##, ##gray|//theta//##)||dgamma(x, ##gray|//k//##, scale=##gray|//theta//##) _ pgamma(x, ##gray|//k//##, scale=##gray|//theta//##) _ qgamma(y, ##gray|//k//##, scale=##gray|//theta//##) _ rgamma(1, ##gray|//k//##, scale=##gray|//theta//##)||stats.gamma.pdf(x, ##gray|//k//##, scale=##gray|//theta//##) _ stats.gamma.cdf(x, ##gray|//k//##, scale=##gray|//theta//##) _ stats.gamma.ppf(y, ##gray|//k//##, scale=##gray|//theta//##) _ stats.gamma.rvs(##gray|//k//##, scale=##gray|//theta//##)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ gamma_distribution gd(##gray|//k//##, ##gray|//theta//##); _ double x = gd(dre);|| ||exponential]||Exp(@<λ>@)||[0, @<∞>@)||$ \lambda e^{-\lambda x} $||@<λ>@-1||@<λ>@-2||EXPON.DIST(x, @<λ>@, FALSE) _ EXPON.DIST(x, @<λ>@, TRUE) _ GAMMAINV(y, 1, 1/@<λ>@) _ GAMMAINV(RAND(), 1, 1/@<λ>@)||exppdf(x, ##gray|//lambda//##) _ expcdf(x, ##gray|//lambda//##) _ expinv(y, ##gray|//lambda//##) _ exprnd(##gray|//lambda//##)||dexp(x, ##gray|//lambda//##) _ pexp(x, ##gray|//lambda//##) _ qexp(y, ##gray|//lambda//##) _ rexp(1, ##gray|//lambda//##)||stats.expon.pdf(x, scale=1.0/##gray|//lambda//##) _ stats.expon.cdf(x, scale=1.0/##gray|//lambda//##) _ stats.expon.ppf(x, scale=1.0/##gray|//lambda//##) _ stats.expon.rvs(scale=1.0/##gray|//lambda//##)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ exponential_distribution ed(##gray|//lambda//##); _ double x = ed(dre);|| ||chi-squared]||@<Χ>@2(@<ν>@)||[0, @<∞>@)||$ \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2} $||@<ν>@||2@<ν>@||CHISQ.DIST(x, @<ν>@, FALSE) _ CHISQ.DIST(x, @<ν>@, TRUE) _ CHISQ.INV(y, @<ν>@) _ CHISQ.INV(RAND(), @<ν>@)||chi2pdf(x, ##gray|//nu//##) _ chi2cdf(x, ##gray|//nu//##) _ chi2inv(y, ##gray|//nu//##) _ chi2rnd(##gray|//nu//##)||dchisq(x, ##gray|//nu//##) _ pchisq(x, ##gray|//nu//##) _ qchisq(y, ##gray|//nu//##) _ rchisq(1, ##gray|//nu//##)||stats.chi2.pdf(x, ##gray|//nu//##) _ stats.chi2.cdf(x, ##gray|//nu//##) _ stats.chi2.ppf(y, ##gray|//nu//##) _ stats.chi2.rvs(##gray|//nu//##)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ chisquareddistribution csd(##gray|//nu//##); _ double x = csd(dre);|| ||beta]||Be(@<α>@, @<β>@)||[0, 1]||$\frac{x^{{\alpha-1}(1-x)}{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}$||$ \frac{\alpha}{\alpha + \beta} $||$ \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $||BETADIST(x, @<α>@, @<β>@, FALSE) _ BETADIST(x, @<α>@, @<β>@, TRUE) _ BETAINV(p, @<α>@, @<β>@) _ BETAINV(RAND(), @<α>@, @<β>@)||betapdf(x, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ betacdf(x, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ betainvf(y, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ betarnd(##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##)||dbeta(x, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ pbeta(x, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ qbeta(y, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ rbeta(1, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##)||stats.beta.pdf(x, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ stats.beta.cdf(x, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ stats.beta.ppf(y, ##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##) _ stats.beta.rvs(##gray|//alpha//##, ##gray|//beta//##)||##gray|//none//##|| ||uniform]||U(a, b)||[a, b]||$ \frac{1}{b-a} $||$ \frac{a+b}{2} $||$ \frac{(b-a)^2}{12} $||1/(b-a) _ (x-a)/(b-a) _ @<α>@ * (b-a) + a _ RAND()*(b-a) + a||unifpdf(x, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ unifcdf(x, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ unifinv(y, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ unifrnd(##gray|//a//##, ##gray|//b//##)||dunif(x, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ punif(x, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ qunif(y, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ runif(1, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##)||stats.uniform.pdf(x, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ stats.uniform.cdf(x, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ stats.uniform.ppf(y, ##gray|//a//##, ##gray|//b//##) _ stats.unifrom.rvs(##gray|//a//##, ##gray|//b//##)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ uniformrealdistribution urd(##gray|//a//##, ##gray|//b//##); _ double x = urd(dre);|| ||Student’s t]||t(@<ν>@)||(-@<∞>@,@<∞>@)||$ \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu \pi} \Gamma(\frac{\nu}{2})} (1 + \frac{x^2}{\nu}){-\frac{\nu+1}{2}}$||$ \begin{cases} 0 & \nu > 1 \ \text{undefined} & \text{otherwise} \end{cases} $||$ \begin{cases} \frac{\nu}{\nu - 2} & \nu > 2 \ \infty & 1 < \nu \le 2 \ \text{undefined} & \text{otherwise} \end{cases} $||T.DIST(x, @<ν>@, FALSE) _ T.DIST(x, @<ν>@, TRUE) _ T.INV(@<α>@, @<ν>@) _ T.INV(RAND(), @<ν>@)|| ||dt(x, ##gray|//nu//##) _ pt(x, ##gray|//nu//##) _ qt(y, ##gray|//nu//##) _ rt(1, ##gray|//nu//##)||stats.t.pdf(x, ##gray|//nu//##) _ stats.t.cdf(x, ##gray|//nu//##) _ stats.t.ppf(y, ##gray|//nu//##) _ stats.t.rvs(##gray|//nu//##)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ studenttdistribution td(##gray|//nu//##); _ double x = td(dre);|| ||Snedecor’s F]||F(d,,1,,, d,,2,,)||[0, @<∞>@)||$ \frac{\sqrt{\frac{(d1 x)^{d1} d2^{d2}}{(d1 x + d2)^{d1+d2}}}}{x B(d1, d2)} $||$ \frac{d2}{d2 - 2} $ ##gray|//for d,,2,, > 2//##|| ||F.DIST(x, d,,1,,, d,,2,,, FALSE) _ F.DIST(x, d,,1,,, d,,2,,, TRUE) _ F.INV(@<α>@, d,,1,,, d,,2,,) _ F.INV(RAND(), d,,1,,, d,,2,,)|| ||df(x, ##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##) _ pf(x, ##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##) _ qf(y, ##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##) _ rf(1, ##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##)||stats.f.pdf(x, ##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##) _ stats.f.cdf(x, ##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##) _ stats.f.ppf(y, ##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##) _ stats.f.rvs(##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##)||#include _ _ defaultrandomengine dre; _ fisherfdistribution fd(##gray|//d1//##, ##gray|//d2//##); _ double x = urd(dre);|| ||~ ||~ ||~ ##EFEFEF|@@_____@@##||~ ||~ ||~ ||~ ##EFEFEF|@@____________________@@##||~ ##EFEFEF|@@___________________@@##||~ ##EFEFEF|@@___________________@@##||~ ##EFEFEF|@@______________________________@@##||~ ##EFEFEF|@@_________________________________________@@##||